La formula più bella

Viaggio (in 2a classe) tra gli scacchisti con l’hobby della matematica ed i matematici con l’hobby degli scacchi

Leonhard Euler, genio della Matematica

Il grande fisico Richard Feynman e “premio Nobel” americano l’ha definita “un gioiello”, e di fatto appare difficile trovare una formula che metta in relazione, in modo altrettanto sintetico e brillante, entità matematiche fondamentali quali:

• 0 : lo zero, concetto sia filosofico che fondamento della moderna notazione posizionale
• 1 : l’unità, il primo dei numeri naturali
• π : il pi greco, ovvero il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza ed il suo diametro
• e :  il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali
• i : l’unità immaginaria, ovvero la radice quadrata di -1

Tale formula è ancor più degna di ammirazione in quanto pone in relazione diretta Geometria ed Algebra, attraverso appunto π, numero fondamentale per la geometria euclidea, ed i, l’unità immaginaria.

E’la cosiddetta “identità di Eulero”

il celebre problema dei ponti di Königsberg

Königsberg, città della Prussia orientale attualmente situata in territorio russo e nota come Kaliningrad, si stende sulle rive e su due isole del fiume Pregel e i suoi quartieri sono collegati da sette ponti. Leonhard Euler, all’inizio di un suo celebre scritto pubblicato nel 1736, pose il seguente indovinello: è possibile uscire di casa e farvi ritorno dopo avere percorso tutti e sette i ponti non più di una volta? Il grande matematico svizzero dimostrò che ciò non era possibile e rispondendo a quello che divenne famoso come il “problema dei ponti di Königsberg” diede vita alla teoria dei grafi, uno degli ambiti più fecondi della matematica moderna. Questa è solo una goccia d’acqua nell’oceano della produzione di Eulero, che spesso, come dimostra questo aneddoto, nasceva da osservazioni curiose e quotidiane. Il suo lavoro si estende infatti a tutti i campi e a tutti i livelli del sapere scientifico, tanto che egli può essere definito l’Euclide della matematica moderna. Eulero nacque a Basilea, in Svizzera, nel 1707 ed è tuttora considerato il più grande algorista della storia della scienza, superiore anche a Jacobi e Ramanujuan. L’algorista è quel matematico che immagina degli algoritmi (procedure) per la soluzione di problemi di una certa specie e percorre con grande naturalezza la diverse vie che possono condurre all’individuazione della risposta ad un quesito scientifico. L’incredibile attitudine e passione per la matematica lo portarono a diventare il matematico più prolifico della storia e gli valsero il soprannome, coniato dai contemporanei, di “analisi incarnata”. Eulero fu un pioniere dell’attività matematica, che praticò incessantemente ricorrendo alla sua geniale ma anche pratica immaginazione, che gli suggeriva sempre nuovi e audaci metodi di dimostrazione, congetture e ipotesi al limite della correttezza formale. Come è accaduto e accade spesso ai geni scientifici, anche a lui toccò in sorte un padre che cercò di influenzare la sua vita tenendo conto più delle proprie ambizioni e convinzioni che dei desideri e delle capacità del figlio. Così Paul Euler, pastore calvinista di Riechen, villaggio vicino a Basilea, fece di tutto affinché Leonhard si immolasse allo studio della teologia, sebbene egli stesso avesse tentato con scarsi risultati di intraprendere la carriera del matematico. E fu solo grazie all’intervento del grande matematico Johann Bernoulli, colpito dalle doti del figlio del suo amico Paul Euler, che Leonhard riuscì a ottenere il permesso di intraprendere la strada della ricerca matematica. A 19 anni produsse il primo lavoro: partecipò al concorso dell’Accademia delle Scienze di Parigi sul problema dell’alberatura delle navi e, pur non vincendolo, ottenne una menzione di merito (in seguito si sarebbe rifatto conseguendo quel titolo per ben dodici volte). In quello stesso 1727 Eulero, grazie alla mediazione di Bernoulli, fu chiamato a Pietroburgo come aggiunto alla sezione di medicina dell’Accademia. Ma proprio il giorno del suo arrivo a Pietroburgo morì l’imperatrice Caterina, moglie di Pietro il Grande, il fondatore dell’Accademia. Il breve e brutale governo che seguì il suo regno fu sul punto di chiudere quella istituzione ed Eulero, disperato, meditò di accettare un posto di luogotenente nella Marina. Per fortuna poi l’Accademia rimase in vita, ma per sei anni Eulero si chiuse nei suoi studi evitando ogni forma di vita sociale: Pietroburgo, infatti, pullulava di spie e trabocchetti. In quella terra in cui conduceva l’esistenza di un carcerato decise tuttavia di prender moglie: sposò la figlia del pittore Gsell, dalla quale ebbe tredici bambini, che amava alla follia, ma otto dei quali morirono ancora piccoli. Di lui si diceva che fosse in grado di lavorare in qualsiasi luogo e condizione e che redigesse le sue dissertazioni con un figlioletto sulle ginocchia mentre gli altri gli giocavano intorno. Intorno al 1735, deciso a concorrere per il premio dell’Accademia delle Scienze di Parigi, si assunse l’incarico di risolvere il problema, che verteva su una questione di astronomia, in soli tre giorni, mentre altri partecipanti di notevole levatura avevano chiesto tre mesi di tempo. Riuscì nell’impresa, ma lo sforzo compiuto gli costò una malattia nel corso della quale perse l’uso dell’occhio destro. “Ora avrò meno distrazioni” fu a tal proposito il commento ironico del grande genio a proposito della propria disgrazia (Da H. Eves in “Mathematical Circles” – Boston 1969). Nel 1740, benché ormai la Russia si accingesse a diventare più liberale, Eulero decise di accettare l’invito di Federico il Grande di entrare a far parte dell’Accademia di Berlino. Anche lì, come già era avvenuto in Russia, le sue straordinarie capacità furono messe al servizio dello Stato per risolvere problemi pratici, dal conio di monete ai sistemi tributari, dalle condotte d’acqua ai canali navigabili. La Russia, tuttavia, non dimenticò mai Eulero, e lui non dimenticò mai il grande Impero russo. E così nel 1766, quando aveva 59 anni, essendosi deteriorati i suoi rapporti con la corte di Federico, ritornò a Pietroburgo, dove fu accolto come un principe dall’imperatrice Caterina II. Ma in quegli anni la cateratta iniziò ad attaccare l’occhio sinistro, l’unico ancora in grado di vedere, e in breve tempo Eulero si ritrovò completamente cieco. Gli ultimi diciassette anni della sua esistenza trascorsero nella totale oscurità, ma nemmeno questo gli impedì di continuare a produrre una quantità impressionante di lavori (che coinvolgono tutto lo scibile scientifico: aritmetica, topologia, analisi, meccanica, astronomia, fisica), facendo sfoggio di una memoria fenomenale nel seguire con l’udito dimostrazioni matematiche anche molto lunghe. Lo spirito di questo genio rimase vigoroso e presente fino a pochi istanti prima della morte, che avvenne il 18 settembre 1783.

Lollipop sul bel Blog “La mossa del cavallo” riassume con queste efficaci parole il cosiddetto “viaggio del cavallo”:

La mossa del cavallo da secoli appassiona anche i matematici: se ne sono occupati, tra gli altri, De Moivre, Dudeney, e soprattutto, Eulero. In particolare quello che appassiona i matematici è il viaggio del cavallo: bisogna trovare un percorso che porti il cavallo ad occupare tutte le case della scacchiera partendo da una casella qualsiasi e passando una e una sola volta su ogni altra casella. Se la casella di pratenza e quella di arrivo sono ancora unite fra loro dalla mossa del cavallo, il viaggio si dice chiuso, altrimenti aperto. De Moivre consigliò di cercare di “occupare” prima la fascia esterna, senza entrare, salvo i casi di necessità assoluta, nel quadrato centrale 4×4.

Eulero propose una strategia che permette di porre rimedio ad eventuali errori, recuperando caselle che fossero rimaste fuori dal percorso, purchè queste non siano più di quattro.

Generalizzando, ci si può chiedere:

• Si può disegnare un cammino chiuso in cui tutte le possibili mosse siano tracciate una ed una sola volta?
• È possibile, per il cavallo, occupare tutte le caselle di una scacchiera nxn ciascuna esattamente una volta prima di ritornare sulla stessa casella da cui è partito?

In termini di teoria dei grafi il primo quesito equivale a chiedersi se è possibile costruire un cammino euleriano nel grafo.

“Cammino” è una sequenza finita ed alternata di vertici e spigoli; un cammino è chiuso quando il primo e l’ultimo verso sono coincidenti ed è detto euleriano quando la sequenza che lo individua contiene ogni spigolo del grafo una ed una sola volta.

Alla prima domanda si risponde di sì, solo quando N = 3

Il secondo problema è invece un problema di grafi hamiltoniani, ed insomma, se ne volete sapere di più, consultate la rete! (tra i tanti articoli e siti che parlano del problema, segnaliamo il sito www.matematicamente.it e l’articolo di Gabriella Zamillo).

Concludiamo con un esercizio, che è stato oggetto di una prova d’esame all’Università di Padova.

Esercizio

Si consideri la scacchiera del gioco degli scacchi e il pezzo cavallo. La mossa del cavallo consiste in una L, cioè se la casella in cui esso si trova ha coordinate (0,0), le caselle da esso raggiungibili sono esprimibili dalle coordinate (u,v) che appartengono all’insieme (2,1), (1,2), (-1,2), (-2,1), (-1,-2), (1,-2), (2,-1).

Si assuma una scacchiera illimitata.

Dato un cavallo in posizione (0,0) che ha come goal quello di raggiungere la casella (x,y) nel minor numero di mosse possibili, si dica come, senza costruire una soluzione, si possa decidere se il numero di mosse necessario sia pari o dispari.

Soluzione

ad ogni mossa il cavallo passa da una casella di un colore ad una casella di colore diverso. Quindi se la casella da raggiungere è dello stesso colore della casella (0,0), allora è necessario un numero pari di mosse, altrimenti un numero dispari. Matematicamente tale condizione si può esprimere andando a verificare se IxI + IyI è pari o dispari.

Torta di compleanno dedicata al sommo matematico svizzero

...questa la pasticceria ove è stata confezionata?!?

Scritto da: Martin (Qui gli altri suoi articoli)